Movimiento de proyectiles

Para hacer mas faciles los ejercicios en movimiento de proyectiles, lo 'dividimos' dos dimensiones:
x y y (como en el plano)
Para el eje "x" usamos velocidad constante.
Para el eje "y" usamos las formulas de MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO y como aceleracion usamos la gravedad.

Eje y
!
!           o
!     o        o
! o                o
o----------------o------ eje X
Y como vimos en la figura tenemos un ANGULO (entre el objeto y el eje x): y comenzamos a utilizar las ecuaciones
EN EL EJE "x": con u es el angulo
x = Vo cos (u) * t ; v=x/t
EN EL EJE "y" USAMOS:
h=Vo sen(u) - 1/2 g * t^2

Y resolvemos... como dato necesitamos la velocidad Vo y el angulo, el resto puede variar (nos pueden dar el tiempo, o la altura h, o el tiempo t), y al final hacemos un conjunto de TANTAs ecuaciones y TANTAs incognitas.

Tenemos que tener en cuenta que el tiempo que demora en subir + bajar (en el eje y) es igual al tiempo que tomar recorrer el eje X

si usamos las dos ecuaciones, tenemos:
y=tan(u) x - [g/(2*Vo^2 * cos^2(u))]x^2
Un caso particular del movimiento de proyectiles es: CAIDA LIBRE Con el angulo u igual a cero.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Un bombero, a una distancia d de un edificio en llamas, dirige el chorro de agua de una manguera a un angulo θ medido desde el piso. Si la rapidez inicial del chorro es Vo ¿A que altura h el agua incide sobre el edificio? R// y = d tan θ – [ (gd^2) / (2Vo^2 *cos^2(θ)) ]
2. En un bar local, un cliente desliza un tarro de cerveza vacio sobre la barra para que lo rellenen. El cantinero está distraido y no ve el tarro, el cual se desliza fuera de la barra y golpea el piso a una distancia d de la base de la barra. Si la altura de la barra es h, a)¿Con que velocidad deha el tarro la barra? ; b) ¿Cual fue la direccion de la velocidad del tarro justo antes de golpear el piso? R// a) v=d * RaizCuadrada(g/(2h)) ; b) θ = tan–1(2h/d)
3. Un muchachoo puede lanzar una pelota una distancia horizontal maxima R en un campo plano. ¿A que distancia puede lanzar la misma pelota verticalmente hacia arriba? R// R/2
   

Ejercios de Movimiento RectilineoUniformemente Variado (MRUV)

1. Cual es la aceleracion que debe imprimirse a un movil para que su velocidad final sea 4 veces su velocidad inicial a cabo de 10 minutos y despues de recorrer 100 m. R//1.2 m/s2

2. Una particula viaja hacia la derecha con aceleracion constante de -4m/s2 hasta que alcanza una rapidez constante de -20m/s en un tiempo de 40s. Calcule la distancia total recorrida R//2500 m

3. El tiempo que tarda en reaccionar un conductor medio entre el instane en que percibe la señal de pare y la aplicacion de los frenos es de 0.5 s. Si el automovil experimenta una desaceleracion de 5m/s2, la diatancia total recorrida hasta detenerse una vez percibida la señal cuando la velocidad es de 60 km/h, es??? R// 36m

PROBLEMA DESAFIO:

4. Una particula inicialmente localizada en el origen tiene una aceleracion de a=3.00j m/s2 y una velocidad inicial de v i=5.00i m/s. a) Encuentre El vector posicion y velocidad en cualquier tiempo t y b) las coordenadasy rapidez de la particula en t=2seg.
R// a) r = [5.00ti + 1/2 (3.00t2) j] m, v = [5.00i + (3.00t)j] m/s
b) (10.0 m, 6.00 m), 7.81 m/s



5. Un objeto que viaja con una velocidad constante Vo experimenta una aceleracion constante en la misma direccion durante un tiempo t. Luego, experimenta una aceleracion de igual magnitud ne direccion opuesta por el mismo tiempo t ¿Cual es la velocidad después de eso? R//Vo

Caida Libre

Tenemos un objeto que lanzamos hacia arriba, entonces, si queremos que llegue a una altura "h" le damos una velocidad inicial, y a medida que se vaya desplazando mas, va a ir pendiendo velocidad gracias a la gravedad, hasta llegar a una altura "h" en la que la velocidad se haga cero.En ese punto analizamos:
Vf=Vo - gt

h= Vo * t - 1/2(g)(t^2)

2h=2Vo * t - (g)(t^2)

2h - 2Vo*t + (g)(t^2)=0

(vemos que tenemos una ecuacion cuadratica)

Y sacamos el tiempo usando la formula general : con

a = g (g=gravedad)

b= - (2 * Vo)

c = 2 (h)

ECUACION CUADRATICA

 (3)

(3)

Y si queda un tiempo negativo, solo se usa el positivo.

Vf= Vo - gt   Vf=0

Vo=gt    (Ec 1.)

Y esta ecuacion nos sirve para calcular la velocidad Inicial con que debemos lanzar la pelota para que llegue hasta una altura "h"

O si el problema te da el tiempo y queremos calcular la altura maxima q' alcanzara

Vf^2=Vo^2 - 2gh   Vf=0

Vo^2= 2gh

(g^2) (t^2) = 2gh

h = (g) (t^2) / 2            (Ec 2.)

Vo= raizCuadradaDe (2gh)     (Ec. 4)

Ahora, si tenemos un objeto que lo lanzamos de una altura "h", tenemos:

Y necesitamos calcular:

• La altura h

h=Vo * t + 1/2 g t^2 (Ec. 2 )  

2h=2Vo * t + (g)(t^2)

2h - 2Vo*t - (g)(t^2)

     y usamos la ecuacion cuadratica para hallar el tiempo que tardo en caer: 

a =  - g (g=gravedad)

b= - (2 * Vo)

c = 2 (h)

ECUACION CUADRATICA

 (3)

(3)

Y si queda un tiempo negativo, solo se usa el positivo.

y encontramos el tiempo.

• La altura de donde fue lanzado el objeto

Usamos la ecuacion 2:
h=Vo t + 1/2 g t^2

• La velocidad final con la que llega el objeto al suelo (luego de hallar el tiempo):

usamos la ecuacion 1:
Vf=Vo + g * t
Vemos si se lanzo con velocidad inicial o si Vo=0

• La velocidad final / inicial con que llegó

Vf^2=Vo^2 + 2 * g * h

EJEMPLO:

Se deja caer un objeto desde un edificio de 20m. Calcule el tiempo que tarda en caer el objeto

1. Primero sacamos las variables.:
vo=0 (porque se deja caer)
x=20m
t=?
g=9.8
2. Cuando sacamos TODOS los datos, vemos cual formula nos conviene mejor:
X = Vo t + 1/2 g t2

3. Reemplazamos los valores que tenemos:
20 = 0*t + 1/2 * 9.8 * t2
20=4.9 t2

t=2.02

EJERCICIOS PROBLEMA

1. Una piedra se deja caer en un pozo y se oye el ruido producido al chocar con el agua 3.2 segundos después. Calcule la profundidad del pozo hasta donde comienza el nivel del agua. Velocidad del sonido: 340 m/s R// 46 metros
2. Un cohete se acelera verticalmente hacia arriba desde el reposo a 15 m/s^2. Despues de 5 segundos de haber despegado, se le desprende un tornillo. Determine el tiempo que tarda el tornillo en llegar al suelo desde que se desprendio (g=10m/s^2). R// 17.2 seg.
3. Una persona dentro de una habitacion ve pasar por la ventana un objeto. La ventana tiene 1.3m de altura y el objeto se demora en pasar 0.22 segundos. La altura desde donde se dejó caer el objeto es??? (g=10 m/s^2) R// 1.16 metros
   

VELOCIDAD PROMEDIO

x0= Distancia inicial

vo=velocidad inicial

Cargas

Primero ponemos una carga de prueba a una distancia de Q1 y Q2, Luego, vemos que se elimina las "k" y la carga de prueba.

rm=distancia de separacion

Q1, Q2=cargas que me da el problema

r1= distancia de Q2 hacia carga de prueba

r2= distancia de Q1 hacia carga de prueba

Al final, solamente reemplazamos, :

r1(cargaPrueba hasta Q2)

r2(cargaPrueba hasta Q1C)

La respuesta

r2=rm/[(raizcuadrada(Q2/Q1)+1] y r1: 

•  r1+r2=rm

Las fuerzas F4-2 y F1-2 son Fuerzas de repulsion, y ambas son perpendiculares, entonces sacamos una Fuerza resultante.(Es mejor  dejar expresado en terminos de una sola Fuerza, la resultante).

Y solo con haber encontrado una fuerza, podemos intuir que el resto va a ser igual magnitud pero diferente sentido.

Y si cambiamos de signo a TODAS LAS CARGAS, el resultado seria el mismo, xq el resultado son FUERZAS DE REPULSION, siempre y cuando todas las cargas tengan el mismo signo

Rampa

Este es un ejercicio 'particular' de fisica (la rampa)..

Un problema 'tipico' de rampas en fisica:

W= peso

alfa= angulo de la rampa

N=Normal (siempre perpendicular al desplazamiento)

fr=friccion=uN

Recordemos que

• La normal es perpendicular a la superficie de contacto.
• La fuerza de friccion es contraria al movimiento del objeto
• alfa es la inclinacion sobre la cual se mueve el objeto
• El peso del objeto va siempre hacia el centro de la tierra.

Ponemos una referencia (ejes 'x', 'y' figura siguiente ejes en amarillo) como mejor nos convenga; lo ponemos al principio de la rampa, el eje x paralelo a la rampa, y el eje y, quedando:

Y nos imaginamos que estamos en un plano cartesiano(fig. amarillo), y vemos las fuerzas que actuan en los ejes de nuestro plano.

Lo amarillo son los eje$ coordenados x, y(Como sabemos, el primer cuadrante x y positivos... etc). El objeto se empieza a mover hacia arriba con una velocidad v (de aqui el ejercicio puede ser velocidad variable, constante, fuerza variable, fuerza constante). He aqui la variedad de la fisica y sus ejercicios. Aqui se plantea con fuerzas constantes, como se enseña para quienes estan comenzando a aprender.

Luego de tener claro los puntos comenzamos a 'mover' el objeto(bloque) sobre la rampa.

Y se comienza a ordenar: primero hacemos la sumatoria de fuerzas en "x" y luego en "y" guiándonos con la rampa y con el plano que habiamos 'imaginado' (fig. en amarillo).

Hacemos una sumatoria de fuerzas por cada eje que tenemos.

Vemos las fuerzas que actuan el eje x en nuestro 'plano de color amarillo' y pondremos las fuerzas externas al bloque en la formula conocida (Segunda ley de Newton), y decimos: Sumatoria de fuerzas en x que actuan sobre el bloque= masa x aceleracion del bloque y descomponemos:

vemos que

• La friccion = coeficiente de friccion(depende de la superficie) x Normal.
• La Normal la necesitamos y es por eso que buscamos la segunda ecuacion (sumatoria de fuerzas en y); dejamos un momento esta ecuacion y buscamos la Normal.. (Ec. 2).

Luego de haberla encontrado, la reemplazamos

Bueno, aqui hemos hecho sumatoria de fuerzas externas que actuan en el bloque en el eje 'y', y vemos que solamente son 2: La normal y la componente en y del peso (Abajo se explica xq "componente y del peso").

Para aclarar 'cosas':

Como tenemos varios vectores(fuerza, friccion, peso, velocidad, aceleracion, normal), tenemos que tener encuenta que:

• El peso(vector) esta dirigido hacia el centro de la tierra, pero en esta clase de ejercicios (rampa), como hay una inclinacion, es mejor tomar un eje coordenado (referencia) que nos favorezca (mismo sentido movimiento del bloque del eje x) (fig. amarillo, eje coordenado), es por eso que el peso tiene una componente en 'x' 'y', porque el peso 'normal' no esta en nuestro eje coordenado y(como normalmente esta) y lo adecuamos.
• La normal es siempre perpendicular a donde nos estemos moviendo(superficie).
• La friccion va contra el movimiento (normalmente).
• La fuerza puede NO estar paralela al movimiento (como el peso), de ahi sacamos sus componentes en 'x' y en 'y' en funcion de alfa.
• Podria haber varias fuerzas externas F's que le den movimiento , y mejor es sacar una fuerza resultante(vectorialmente).

Tics:

• Debemos fijar las sumatorias de fuerzas en 'x' i en 'y' y poner todas las fuerzas externas que actuen en el bloque con su respectivo signo (es muy importante ver hacia donde estan dirigidas las fuerzas (vectores)).
• Como las superficies no son lisas, se debe tener en cuenta la fuerza de friccion, a menos de que el problema diga que son lisas (hielo, madera perfectamente lisa...)
• En esta clase de ejercicios ver el peso y sus componentes.

Entonces tenemos

fr=u(mg)(cos x): x=angulo de elevacion = Fuerza de rozamiento cinetico

Esta fuerza total la usamos para calcular la Potencia necesaria para subir esta rampa.

Fuerza neta= suma de todas fuerzas tanto en "x" como en "y"

Tenemos una aceleracion con la que se sube la rampa.

a=(F-uN) / m

Luego, usando MRUV podemos encontrar la v (instantanea) y se hace facil, xq elegimos el eje coordenado x (en el cual se mueve el objeto)

Potencia necesaria para subir la rampa: F x v dt ; Fuerza neta x velocidad inst. = P