Series numericas

Una serie es una sucesion de numeros (2,4,6,8,10); esta serie se dice que es finita, porque hay un primer y ultimo numero.

Una secuencia/sucesion/serie es una funcion cuyo dominio es el conjunto

{1,2,3...n}


Un ejemplo practico de series numericas...


en un tablero de n x n cuadros hay se pueden hacer ???? cuadrados


Por ejemplo::::
En un tablero de 2x2 hay 5 cuadros
en una tabla de 3x3 ::: hay 14 cuadros

en un tablero de ajedres (8x8) hay 204 cuadros...


La formula es:::

Newton con resortes

Resortes:
Si tenemos un cuerpo suspendido en un resorte tenemos.: mg=kx (sin movimiento)

pero si por ejemplo le damos un "golpe", tendremos que el resorte empieza a "vibrar" y como cambia la velocidad en todo tiempo 't', tendremos:





tal que:

y: es la altura
k: es la constante del resorte
m: es la masa que se colgo del resorte.

Primero viendo con una fuerza constante, resolviendo la ecuacion diferencial, tenemos::




Ahora que si le damos una fuerza externa por unos segundos tenemos que usar la funcion "delta de dirac" tendremos:



resolviendo la ecuacion(con Ecuaciones diferenciales, Transformada de Laplace) , tendremos:

donde:
a: es y en el instante t=0. O sea desde donde se solto el cuerpo
b: es la velocidad con la que se solto el cuerpo. es V(0).


tal que Un es la funcion escalon, diciendo que antes del tiempo 'n', esa funcion es 0 y despues de ese tiempo, la funcion es F, reemplazando la Un por F (fuerza aplicada en el instante n).

Caida con resistencia del aire

Para usar caida libre, los problemas en fisica normalmente son puntuales(no toman en cuenta la resistencia del aire). Pero si queremos un problema un poco mas "parecido" a la realidad, necesitamos usar ecuaciones diferenciales.
Por ejemplo:

Un cuerpo se deja caer desde una altura h, con una resistencia del aire que es proporcional a la velocidad del objeto


usamos la ecuacion, (la cual sale con 2º ley de newton):

m (dv/vt) + k v = mg

m=masa[en kilogramos]
k= constante de proporcionalidad (resistencia del aire)[ en kilogramos/segundos]

resolvemos la ecuacion diferencial (con ecuaciones diferenciales):

va a salir la velocidad del cuerpo en todo instante t(una ecuacion en funcion de "t").


v=[Integral(g e^(integral(k/m dt)))] / (e^(integral(k/m dt)))

o sea:

v= [(gravedad * e^(k*t/m)) + constante]/ {k*t/m}

Y se le puede añadir condiciones iniciales, o podemos derivarlo para sacar la altura en todo tiempo.