Calcuo de la primera ecuacion de MRUV

La caida libre en forma general es

Xf - X0 = Vo t + 1/2 g t^2
o
dx=Vot + 1/2 g t2
Si derivamos con respecto al tiempo tenemos nuestra ecuacion:
vf=v0+ g*t     Que es nuestra primera ecuacion que nos ayuda en MRUV

Series numericas

Una serie es una sucesion de numeros (2,4,6,8,10); esta serie se dice que es finita, porque hay un primer y ultimo numero.

Una secuencia/sucesion/serie es una funcion cuyo dominio es el conjunto

{1,2,3...n}


Un ejemplo practico de series numericas...


en un tablero de n x n cuadros hay se pueden hacer ???? cuadrados


Por ejemplo::::
En un tablero de 2x2 hay 5 cuadros
en una tabla de 3x3 ::: hay 14 cuadros

en un tablero de ajedres (8x8) hay 204 cuadros...


La formula es:::

Newton con resortes

Resortes:
Si tenemos un cuerpo suspendido en un resorte tenemos.: mg=kx (sin movimiento)

pero si por ejemplo le damos un "golpe", tendremos que el resorte empieza a "vibrar" y como cambia la velocidad en todo tiempo 't', tendremos:





tal que:

y: es la altura
k: es la constante del resorte
m: es la masa que se colgo del resorte.

Primero viendo con una fuerza constante, resolviendo la ecuacion diferencial, tenemos::




Ahora que si le damos una fuerza externa por unos segundos tenemos que usar la funcion "delta de dirac" tendremos:



resolviendo la ecuacion(con Ecuaciones diferenciales, Transformada de Laplace) , tendremos:

donde:
a: es y en el instante t=0. O sea desde donde se solto el cuerpo
b: es la velocidad con la que se solto el cuerpo. es V(0).


tal que Un es la funcion escalon, diciendo que antes del tiempo 'n', esa funcion es 0 y despues de ese tiempo, la funcion es F, reemplazando la Un por F (fuerza aplicada en el instante n).

Caida con resistencia del aire

Para usar caida libre, los problemas en fisica normalmente son puntuales(no toman en cuenta la resistencia del aire). Pero si queremos un problema un poco mas "parecido" a la realidad, necesitamos usar ecuaciones diferenciales.
Por ejemplo:

Un cuerpo se deja caer desde una altura h, con una resistencia del aire que es proporcional a la velocidad del objeto


usamos la ecuacion, (la cual sale con 2º ley de newton):

m (dv/vt) + k v = mg

m=masa[en kilogramos]
k= constante de proporcionalidad (resistencia del aire)[ en kilogramos/segundos]

resolvemos la ecuacion diferencial (con ecuaciones diferenciales):

va a salir la velocidad del cuerpo en todo instante t(una ecuacion en funcion de "t").


v=[Integral(g e^(integral(k/m dt)))] / (e^(integral(k/m dt)))

o sea:

v= [(gravedad * e^(k*t/m)) + constante]/ {k*t/m}

Y se le puede añadir condiciones iniciales, o podemos derivarlo para sacar la altura en todo tiempo.

Movimiento de proyectiles

Para hacer mas faciles los ejercicios en movimiento de proyectiles, lo 'dividimos' dos dimensiones:
x y y (como en el plano)
Para el eje "x" usamos velocidad constante.
Para el eje "y" usamos las formulas de MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO y como aceleracion usamos la gravedad.

Eje y
!
!           o
!     o        o
! o                o
o----------------o------ eje X
Y como vimos en la figura tenemos un ANGULO (entre el objeto y el eje x): y comenzamos a utilizar las ecuaciones
EN EL EJE "x": con u es el angulo
x = Vo cos (u) * t ; v=x/t
EN EL EJE "y" USAMOS:
h=Vo sen(u) - 1/2 g * t^2

Y resolvemos... como dato necesitamos la velocidad Vo y el angulo, el resto puede variar (nos pueden dar el tiempo, o la altura h, o el tiempo t), y al final hacemos un conjunto de TANTAs ecuaciones y TANTAs incognitas.

Tenemos que tener en cuenta que el tiempo que demora en subir + bajar (en el eje y) es igual al tiempo que tomar recorrer el eje X

si usamos las dos ecuaciones, tenemos:
y=tan(u) x - [g/(2*Vo^2 * cos^2(u))]x^2
Un caso particular del movimiento de proyectiles es: CAIDA LIBRE Con el angulo u igual a cero.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Un bombero, a una distancia d de un edificio en llamas, dirige el chorro de agua de una manguera a un angulo θ medido desde el piso. Si la rapidez inicial del chorro es Vo ¿A que altura h el agua incide sobre el edificio? R// y = d tan θ – [ (gd^2) / (2Vo^2 *cos^2(θ)) ]
2. En un bar local, un cliente desliza un tarro de cerveza vacio sobre la barra para que lo rellenen. El cantinero está distraido y no ve el tarro, el cual se desliza fuera de la barra y golpea el piso a una distancia d de la base de la barra. Si la altura de la barra es h, a)¿Con que velocidad deha el tarro la barra? ; b) ¿Cual fue la direccion de la velocidad del tarro justo antes de golpear el piso? R// a) v=d * RaizCuadrada(g/(2h)) ; b) θ = tan–1(2h/d)
3. Un muchachoo puede lanzar una pelota una distancia horizontal maxima R en un campo plano. ¿A que distancia puede lanzar la misma pelota verticalmente hacia arriba? R// R/2
   

Ejercios de Movimiento RectilineoUniformemente Variado (MRUV)

1. Cual es la aceleracion que debe imprimirse a un movil para que su velocidad final sea 4 veces su velocidad inicial a cabo de 10 minutos y despues de recorrer 100 m. R//1.2 m/s2

2. Una particula viaja hacia la derecha con aceleracion constante de -4m/s2 hasta que alcanza una rapidez constante de -20m/s en un tiempo de 40s. Calcule la distancia total recorrida R//2500 m

3. El tiempo que tarda en reaccionar un conductor medio entre el instane en que percibe la señal de pare y la aplicacion de los frenos es de 0.5 s. Si el automovil experimenta una desaceleracion de 5m/s2, la diatancia total recorrida hasta detenerse una vez percibida la señal cuando la velocidad es de 60 km/h, es??? R// 36m

PROBLEMA DESAFIO:

4. Una particula inicialmente localizada en el origen tiene una aceleracion de a=3.00j m/s2 y una velocidad inicial de v i=5.00i m/s. a) Encuentre El vector posicion y velocidad en cualquier tiempo t y b) las coordenadasy rapidez de la particula en t=2seg.
R// a) r = [5.00ti + 1/2 (3.00t2) j] m, v = [5.00i + (3.00t)j] m/s
b) (10.0 m, 6.00 m), 7.81 m/s



5. Un objeto que viaja con una velocidad constante Vo experimenta una aceleracion constante en la misma direccion durante un tiempo t. Luego, experimenta una aceleracion de igual magnitud ne direccion opuesta por el mismo tiempo t ¿Cual es la velocidad después de eso? R//Vo

Caida Libre

Tenemos un objeto que lanzamos hacia arriba, entonces, si queremos que llegue a una altura "h" le damos una velocidad inicial, y a medida que se vaya desplazando mas, va a ir pendiendo velocidad gracias a la gravedad, hasta llegar a una altura "h" en la que la velocidad se haga cero.En ese punto analizamos:
Vf=Vo - gt

h= Vo * t - 1/2(g)(t^2)

2h=2Vo * t - (g)(t^2)

2h - 2Vo*t + (g)(t^2)=0

(vemos que tenemos una ecuacion cuadratica)

Y sacamos el tiempo usando la formula general : con

a = g (g=gravedad)

b= - (2 * Vo)

c = 2 (h)

ECUACION CUADRATICA

 (3)

(3)

Y si queda un tiempo negativo, solo se usa el positivo.

Vf= Vo - gt   Vf=0

Vo=gt    (Ec 1.)

Y esta ecuacion nos sirve para calcular la velocidad Inicial con que debemos lanzar la pelota para que llegue hasta una altura "h"

O si el problema te da el tiempo y queremos calcular la altura maxima q' alcanzara

Vf^2=Vo^2 - 2gh   Vf=0

Vo^2= 2gh

(g^2) (t^2) = 2gh

h = (g) (t^2) / 2            (Ec 2.)

Vo= raizCuadradaDe (2gh)     (Ec. 4)

Ahora, si tenemos un objeto que lo lanzamos de una altura "h", tenemos:

Y necesitamos calcular:

• La altura h

h=Vo * t + 1/2 g t^2 (Ec. 2 )  

2h=2Vo * t + (g)(t^2)

2h - 2Vo*t - (g)(t^2)

     y usamos la ecuacion cuadratica para hallar el tiempo que tardo en caer: 

a =  - g (g=gravedad)

b= - (2 * Vo)

c = 2 (h)

ECUACION CUADRATICA

 (3)

(3)

Y si queda un tiempo negativo, solo se usa el positivo.

y encontramos el tiempo.

• La altura de donde fue lanzado el objeto

Usamos la ecuacion 2:
h=Vo t + 1/2 g t^2

• La velocidad final con la que llega el objeto al suelo (luego de hallar el tiempo):

usamos la ecuacion 1:
Vf=Vo + g * t
Vemos si se lanzo con velocidad inicial o si Vo=0

• La velocidad final / inicial con que llegó

Vf^2=Vo^2 + 2 * g * h

EJEMPLO:

Se deja caer un objeto desde un edificio de 20m. Calcule el tiempo que tarda en caer el objeto

1. Primero sacamos las variables.:
vo=0 (porque se deja caer)
x=20m
t=?
g=9.8
2. Cuando sacamos TODOS los datos, vemos cual formula nos conviene mejor:
X = Vo t + 1/2 g t2

3. Reemplazamos los valores que tenemos:
20 = 0*t + 1/2 * 9.8 * t2
20=4.9 t2

t=2.02

EJERCICIOS PROBLEMA

1. Una piedra se deja caer en un pozo y se oye el ruido producido al chocar con el agua 3.2 segundos después. Calcule la profundidad del pozo hasta donde comienza el nivel del agua. Velocidad del sonido: 340 m/s R// 46 metros
2. Un cohete se acelera verticalmente hacia arriba desde el reposo a 15 m/s^2. Despues de 5 segundos de haber despegado, se le desprende un tornillo. Determine el tiempo que tarda el tornillo en llegar al suelo desde que se desprendio (g=10m/s^2). R// 17.2 seg.
3. Una persona dentro de una habitacion ve pasar por la ventana un objeto. La ventana tiene 1.3m de altura y el objeto se demora en pasar 0.22 segundos. La altura desde donde se dejó caer el objeto es??? (g=10 m/s^2) R// 1.16 metros